はてなへブログを移行しました。数式をきれいに書くためです。これからもよろしくお願いいたします。
蓮見 雄一
2009年12月23日
2009年12月16日
8章 recursive structure
ところで先日さらっとrecursive structureとかきましたが、これまでそもそもSargentのタイトルである「recursive」という意味について全く議論をしてきませんでした。せっかくなので、今日はこれについて簡単に書いてみたいと思います。
結論から先に言えば、Recursiveとは「自分自身を定義する際に、自分自身が定義の中に入ってきてしまう」という状況を指します。すごい違和感があるでしょうが、自分自身が自分自身に反映してしまうような状況をrecursiveといい、再帰的と訳します。
実は、再帰的という言葉は、社会学でも有名です。なぜならイギリスの社会学者アンソニー・ギデンズが近代の定義として再帰性を強調したからです。ギデンズによれば、近代とは、自分自身が行ったことが自分自身に帰ってきてしまうのです。
たとえば、職業選択にしても、僕の家は昔から百姓だったから、という形で他人に決めてもらうことはできません。選ばなかったということすら、主体的に選んだとされてしまう。すべてが原則選択可能であり、そうであるがゆえ、すべての問題が自分自身に帰ってきてしまう。ギデンズは、近代のこのような特徴を強調するため、「再帰的近代」という言葉を使いました。
マクロ経済学での「再帰性」という言葉も、このイメージに近いと僕は思っています。ただ、経済学は社会学とは違い、より厳密に（正確に言うならば、数式を使って）定義を行います。そして、この定義式こそ、ベルマン方程式（bellman equation）となるわけです。
ここで、Sargentのテキストを使って議論しましょう。このテキストで初めてベルマン方程式が出てくるのは、p17の式（1.4.2）です。
V(A,s) = max _{c, A'} { u(c) + βE[V(A’,s’) | s ] } ・・・（1.4.2）
これがベルマン方程式の定義です（ここではAやsといった記号の意味は無視しちゃってください！）。ここまでくるとピンとくると思いますが、V(A,s)の定義式の中に、V（・）という関数が入ってきてしまうでしょ？これこそ、「自分自身を定義する際に、自分自身が定義の中に入ってきてしまう」という状況を数学的に表現しているわけです。
大切なことは、マクロ経済学において、経済問題をこのようなベルマン方程式に帰着させて議論できるケースが多いということです。最初に取り扱ったpermanent incomeのモデルももちろんそうだし、現在取り扱っているsequential tradingのモデルについてもそうです。Recursive equilibriumとは、ベルマン方程式に問題を帰着させた場合のcompetitive equilibriumの定義といえましょう。
ここまでくると、当然、ベルマン方程式に興味がでてくるわけですが、これを厳密に取り扱うDynamic Programming(DP)がSargentの3〜5章にあり、ここをすっ飛ばして8章まで来てしまっているのですねｗいや〜、まずいですねｗ
DPの問題はそれだけを扱うと、すごいテクニカルで退屈してしまう部分でもありますから、他の章と並行して進めていくことが望ましいのかもしれません。僕自身テクニカルな部分が相当弱くなってきているので（大学のころですら数学は異常にできなかった！）、そろそろDPあたりも復習が必要になってきている気がします。
そんなわけで今日はここまで。最近は雑談っぽくなってきています。
結論から先に言えば、Recursiveとは「自分自身を定義する際に、自分自身が定義の中に入ってきてしまう」という状況を指します。すごい違和感があるでしょうが、自分自身が自分自身に反映してしまうような状況をrecursiveといい、再帰的と訳します。
実は、再帰的という言葉は、社会学でも有名です。なぜならイギリスの社会学者アンソニー・ギデンズが近代の定義として再帰性を強調したからです。ギデンズによれば、近代とは、自分自身が行ったことが自分自身に帰ってきてしまうのです。
たとえば、職業選択にしても、僕の家は昔から百姓だったから、という形で他人に決めてもらうことはできません。選ばなかったということすら、主体的に選んだとされてしまう。すべてが原則選択可能であり、そうであるがゆえ、すべての問題が自分自身に帰ってきてしまう。ギデンズは、近代のこのような特徴を強調するため、「再帰的近代」という言葉を使いました。
マクロ経済学での「再帰性」という言葉も、このイメージに近いと僕は思っています。ただ、経済学は社会学とは違い、より厳密に（正確に言うならば、数式を使って）定義を行います。そして、この定義式こそ、ベルマン方程式（bellman equation）となるわけです。
ここで、Sargentのテキストを使って議論しましょう。このテキストで初めてベルマン方程式が出てくるのは、p17の式（1.4.2）です。
V(A,s) = max _{c, A'} { u(c) + βE[V(A’,s’) | s ] } ・・・（1.4.2）
これがベルマン方程式の定義です（ここではAやsといった記号の意味は無視しちゃってください！）。ここまでくるとピンとくると思いますが、V(A,s)の定義式の中に、V（・）という関数が入ってきてしまうでしょ？これこそ、「自分自身を定義する際に、自分自身が定義の中に入ってきてしまう」という状況を数学的に表現しているわけです。
大切なことは、マクロ経済学において、経済問題をこのようなベルマン方程式に帰着させて議論できるケースが多いということです。最初に取り扱ったpermanent incomeのモデルももちろんそうだし、現在取り扱っているsequential tradingのモデルについてもそうです。Recursive equilibriumとは、ベルマン方程式に問題を帰着させた場合のcompetitive equilibriumの定義といえましょう。
ここまでくると、当然、ベルマン方程式に興味がでてくるわけですが、これを厳密に取り扱うDynamic Programming(DP)がSargentの3〜5章にあり、ここをすっ飛ばして8章まで来てしまっているのですねｗいや〜、まずいですねｗ
DPの問題はそれだけを扱うと、すごいテクニカルで退屈してしまう部分でもありますから、他の章と並行して進めていくことが望ましいのかもしれません。僕自身テクニカルな部分が相当弱くなってきているので（大学のころですら数学は異常にできなかった！）、そろそろDPあたりも復習が必要になってきている気がします。
そんなわけで今日はここまで。最近は雑談っぽくなってきています。
2009年12月07日
8章 Squential Trading
僕の好きな言葉に以下の言葉があります。
変えることのできるものについて、
それを変えるだけの勇気をわれらに与えたまえ。
変えることのできないものについては、
それを受けいれるだけの冷静さを与えたまえ。
そして、
変えることのできるものと、変えることのできないものとを、
識別する知恵を与えたまえ。
ラインホールド・ニーバー
大学時代にこの文章を始めて知ったのですが、それは、たしか大塚英志さんの本に書いた宮台真司さんの書評です。書評の内容についてはほとんど覚えていないのですが、この言葉だけはよく覚えています。
時間がたつにつれ、この言葉の重みを知るというか。特に、変えられないものについて、それを受け入れる冷静さがほしいですね。あるいは、それを受け入れる勇気がほしい、と言ってもいい。人生に対する期待値は快調に下がっているんですけどねｗ
＊＊
そんなわけで、来週につなげるため、ここで1エントリー増やしておきましょう。ここで話すことは、Arrow Debrue StructureとSquential Tradingについてです。
これまでArrow Debrue Structureをメインに議論してきました。Arrow Debrue Structureとは、現在時点で将来にわたるすべての取引をしてしまうことでした。t=0において、将来にわたるArrow Debrue Contingent Claimを買ってしまう。そして、t=0にContingent Claimを買ったあとは、それ以上取引が起こらず、購入したcontingent claimにしたがって決済のみがなされていくのです。
Sargentでは下記のように書かれていますね。
multilateral trades are possible through a clearing operation that keeps track of net claims. After time 0, trades that were agree to at time 0 are executed, but no more trade occur.
続きを読む
変えることのできるものについて、
それを変えるだけの勇気をわれらに与えたまえ。
変えることのできないものについては、
それを受けいれるだけの冷静さを与えたまえ。
そして、
変えることのできるものと、変えることのできないものとを、
識別する知恵を与えたまえ。
ラインホールド・ニーバー
大学時代にこの文章を始めて知ったのですが、それは、たしか大塚英志さんの本に書いた宮台真司さんの書評です。書評の内容についてはほとんど覚えていないのですが、この言葉だけはよく覚えています。
時間がたつにつれ、この言葉の重みを知るというか。特に、変えられないものについて、それを受け入れる冷静さがほしいですね。あるいは、それを受け入れる勇気がほしい、と言ってもいい。人生に対する期待値は快調に下がっているんですけどねｗ
＊＊
そんなわけで、来週につなげるため、ここで1エントリー増やしておきましょう。ここで話すことは、Arrow Debrue StructureとSquential Tradingについてです。
これまでArrow Debrue Structureをメインに議論してきました。Arrow Debrue Structureとは、現在時点で将来にわたるすべての取引をしてしまうことでした。t=0において、将来にわたるArrow Debrue Contingent Claimを買ってしまう。そして、t=0にContingent Claimを買ったあとは、それ以上取引が起こらず、購入したcontingent claimにしたがって決済のみがなされていくのです。
Sargentでは下記のように書かれていますね。
multilateral trades are possible through a clearing operation that keeps track of net claims. After time 0, trades that were agree to at time 0 are executed, but no more trade occur.
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